电阻电路的等效变换

节点

一端口概念、等效变换定义
电阻的串并联
电桥平衡
星三角变换
电源的串并联，两种直接简化模型
实际电源
电源等效变换，含受控源如何处理
电源等效例题
输入电阻，受控源可表示负电阻
课后习题

2.1 引言

电阻电路：仅由电源和线性电阻构成的电路
分析方法：
1. 欧姆定律(VCR)和基尔霍夫定律(电路图，拓扑约束)是分析电阻电路的依据
2. 等效变换的方法，也称化简的方法

一和多的概念：

只要有一个错那就全错(与门条件)

一(少数)：
1. 时变：如果有一个元件参数，规律随着时间发生变化，则整个电路被称为时变电路
2. 非线性：如果一个电路中有一个或多个元件是非线性的(不符合齐次性和叠加性 (后面有讲) )，则整个电路称为非线性电路
3. 有源：有源头，如：运算放大器使用时需要消耗电能，才能完成电能的传递。如果电路中有一个或多个元件是有源元件，则称整个电路为有源元件
多(多数)：
1. 非时变：必须电路中所有元件特性都不随时间发生变化，才能称整个电路为非时变电路
2. 线性：必须电路中所有元件都是线性的，才能称为线性电路
3. 无源：所有元件都是无源的，才能称为无源电路

2.2 电路的等效变换

1. 两端电路(网络)

任何一个复杂的电路，向外引出两个端钮，且从一个端子流入的电流等于从另一个端子流出的电流，则称这一电路为二端网络(或一端口网络)

带口也就是一对，一个口包含两个端。

以此类推，二端口网络也就是四端网络、三端口网络也就是六端网络

一般不用端口网络来称，都用输入输出端子的总数来称

如果一个网络是无源的，且引出两个端子，则称这个网络为无源二端网络(或无源一端口网络)

2. 两端电路等效的概念

两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系，则称它们是等效 (对外) 的电路

对外等效：

对 A 电路中的电流、电压和功率而言满足

给两个电路都接上 A，虽然 B 和 C 内部相差很大，但对于 A 来说获得的都是上正下负的电位差，电流大小 i 且方向从上流出下流入

明确：

电路等效变换的条件：两电路具有相同的 VCR
电路等效变换的对象：未变化的外电路 A 中的电压、电流和功率

即对外等效，对内不等效。如果 B 和 C 对内等效，那就是同一个电路了
电路等效变换的目的：化简电路，方便计算

2.3 电阻的串联和并联

基本怎么算初中就学了，这边用基尔霍夫定理大致解释下

1. 电阻串联

电路特点：

各电阻顺序连接，流过同一电流(KCL)

电阻是二端元件，流入电阻的电流等于流出电阻的电流。由此得到各电阻流过电流相同
总电压等于各串联电阻的电压之和(KVL)

电阻降压、电源升压，由此可得，电阻总降低电压等于电源升高电压

等效电阻：

也就是一个由很多电阻组成的二段网络和一个阻值相同的二端元件电阻，电流、电压方向大小相同，则这两个电路就是等效的

关系由 KVL 推出

电阻越串联越大

2. 电阻并联

电路特点：

各电阻两端为同一电压(KVL)

每个电阻与电源看作一个回路，压降=压升
总电流等于流过各个并联电阻的电流之和(KCL)

所有电阻两端分别连接的同一个结点，则总流入等于总流出

等效电阻：

$由KCL可得：i=i_1+i_2+...+i_k+...+i_n \\ =\frac{u}{R_1}+\frac{u}{R_2}+...\frac{u}{R_n} \\ =u(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+...\frac{1}{R_n})=u\frac{1}{R_{eq}}=uG_{eq}$

电导越并联越大，电阻越并联越小

3. 电阻的串并联

挑了几个比较绕的

非混连电路(三角形连接)：

上面这题是惠斯通(特)电桥，可用来精确测量电阻

其中灵敏电压表表示 $U_{cd}$ 的电位差， $R_3$ 可调

公式 $\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_x}=0$ ，依据这个调整 $R_3$ 到 $U_{cd}=0$ 时的值就是 $R_x$ 的阻值

2.4 电阻的 $Y$ 形联结和 $\Delta$ 形联结的等效变换

三角形：

$规定电流：i_{12}，流过R_{12}，所以i_{12}=\frac{u_{12}}{R_{12}}。同理i_{23}=\frac{u_{23}}{R_{23}}，i_{31}=\frac{u_{31}}{R_{31}} \\ 对结点1列KCL：\\ i_1+i_{31}=i_{12}\Rightarrow i_1=i_{12}-i_{31}=\frac{u_{12}}{R_{12}}-\frac{u_{31}}{R_{31}} \\ 同理，得到i_2=i_{23}-i_{12}=\frac{u_{23}}{R_{23}}-\frac{u_{12}}{R_{12}}，i_3=i_{31}-i_{23}=\frac{u_{31}}{R_{31}}-\frac{u_{23}}{R_{23}}$

星形：

$对中间结点列KCL：\\ i_1+i_2+i_3=0 \\ 再对R_1和R_2组成虚拟回路，列KVL：\\ R_1i_1=R_2i_2+u_{12}\Rightarrow R_1i_1-R_2i_2=u_{12} \\ 同理，R_2i_2-R_3i_3=u_{23} \\ 由此可得i \\$

三角形和星形的等效：

三角形转星形好难推，我直接背 :(

例题 1

$先将三角形转为星形，中间结点为0：\\ R_{10}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2+R_3}=\frac{3·5}{3+5+2}=1.5\Omega \\ R_{03}=\frac{R_1R_3}{R_1+R_2+R_3}=\frac{3·2}{3+5+2}=0.6\Omega \\ R_{02}=\frac{R_3R_2}{R_1+R_2+R_3}=\frac{2·5}{3+5+2}=1\Omega \\ 这样子转换完后，电路就变成了混连模式。俩先串，然后并，最后再串一起 \\$

R 与 G 的对偶关系：

其中星形转三角形用电阻描述(左上)不如用电导描述(右下)简洁

三角形转星形用电阻描述(右上)不如用电导描述(左下)简洁

电导可以不用记，提一嘴，也怕记混

例题 2

这里还是惠斯通电桥的结论，成比例则中间电位相等

再来看剩下的三个电阻：19 欧接在 12 和 24 中间，另一端接在 2 和 4 中间，所以没有电位差

再来看 7 欧，接在了 2 和 4 还有 3 和 6 中间，也是没有电位差

5 欧在 12 和 24 还有 3 和 6 间，同样没电位差

所以这三个剩余的电阻可以被忽略，这样就变成简单的混连的结构了。

最后因为上面电阻与下面电阻为 1：2 的关系，则算出上面仨并联再乘 3 就是 AB 的等效电阻了

2.5 电压源、电流源的串联和并联

1. 理想电压源的串联和并联

串联：

$u=u_{s1}+u_{s2}=\sum u_{sk}$ (注意参考方向)
并联：

注意： 相同的电压源才能并联，电源中的电流不确定

$u=u_{s1}=u_{s2}$
电压源与支路的串、并联等效

串联：

并联：

说明电压源 $U_S$ 并联的情况下等效为去掉所有与其并联的元件(前提是研究那个 R)

2. 理想电流源的串联并联

并联
串联

相同的理想电流源才能串联，每个电流源的端电压不能确定
电流源与支路的串、并联等效

基本变换关系：

一个电流源和一个电压源串联，电流源不论与什么东西串联，都对外等效为电流源

一个电流源和一个电压源并联，电压源无论与什么东西并联，都对外等效为电压源

特例：

任意一个元件与开路串联，都等效为开路
任意一个元件与短路并联，都等效为短路(导线)

2.6 实际电源的两种模型及其等效变换

1. 实际电压源

即使是这张图也不是理想的实际电源，随电流增大的内阻压降可能会是降幅很大的曲线。很难是一个纯线性的图像

$U_S$ 可以看作开路电压 $U_{OC}$ ，对偶的有短路电流 $i_{SC}=\frac{U_S}{R_S}$

伏安特性： $u=u_S-R_Si$

电阻电压与实际电流参考方向相同，所以为下正上负，压降、吸收功率

一个好的电压源要求： $R_S\rightarrow 0$

注意： 实际电压源也不允许短路。因为其内阻小，若短路则电流很大，也可能烧毁电源

2. 实际电流源

伏安特性： $i=i_S-\frac{u}{R_S}$

与实际电压源图像呈对偶关系：

一个好的电流源要求： $R_S\rightarrow \infty$

**注意：**实际电流源也不允许开路。因为其内阻大，若开路，则电压很高，可能烧毁电源

3. 电压源和电流源的等效变换

实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中保持不变

小结：

注意：

例题 1

例题 2

这边先把 10V 和 10 欧转为 1A 并 10 欧的电流源，6A 电流源支路忽略 10V 电压源。然后 1A 和 6A 电流源与一个 10 欧电阻并，又可以转为 70V 串 10 欧的电压源

也有其他，总之大概是这个思路

电压源特性，什么东西并什么东西没用，则这个 2A 电流源就等于开路了

再把下面 6A 和 10 欧变为 60V 的上正下负电压源，最后串起来，66V 和 10 欧串的等效电路

例题 3

例题 4

含受控源的等效：

原则上与独立源的等效变换相同，只是含控制量的支路不能被变换

例题 5

一步法/公式法：

也就是直接列 u、i 关系

$U=-500I(受控电压源)+2000I(电阻)+10(电压源 )=1500I+10 \\$ 大的要来了： $其中1500I像什么？u=iR，这个1500就是电阻阻值，\\ 于是可以等效为以下电路\\$

如果我们能将电路转化为 $U=Ai+B$ ，就可以将 A 看作电阻，B 看作电压源

重新选择元件进行搭配

例题 6

首先，上面的 2 欧电阻右端与下面负极总线等势，所以与左边 2 欧并起来，且将 10 欧也化为并在受控电压源的形式

将右边俩 2 欧并联为一个 1 欧后，因为电压源，所以 10 欧无效。去掉 10 欧后，受控电压源与其串联的 2 欧共同等效为受控电流源，俩 2 欧电阻与其并联

俩 2 欧电阻计算为一个 1 欧电阻，又可以转为受控电压源串 1 欧电阻。最后无法再化简，得到下图电路

再使用上面提到的公式法：

$先把电路中受控电压源支路的电流i_a求出，针对左上角结点列KCL：\\ i=\frac{v}{1\Omega}+i_a\Rightarrow i_a=i-\frac{v}{1} \\ 方法1：列VCR\\ v=1(电压源)+(i-\frac{v}{1})·2(2欧电阻，包含我们要的v_1)+(i-\frac{v}{1})·1(紧接着的1欧电阻)+(i-\frac{v}{1})·2(因为受控电压源u_控=2欧两端电位差=2\Omega·i_a，所以和2欧电阻的电位差是一样的)\\ =1+5i-5v\\ \Rightarrow v=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}i\ (v=Ai+B)\Downarrow\\$

由以上可得出两个后面将要学到的模型：

形如，用电压源和电阻串联来表示电路的最简形式，被称为戴维南模型
形如，用电流源和电阻并联来表示一大堆连接方法，被称为诺顿模型

2.7 输入电阻

1. 定义

如果一个电路是没有独立源的，对于这样的一个二端网络，给出输入电阻的概念。将输入电压与输入电流的商作为输入电阻的值

对于有源的二段网络，要计算输入电阻则需要先将有源变为无源。也就是先要把网络内的电压源、电流源置零

$电压源置零=短路=导线直接连接，电流源置零=开路=断开连接$

2. 计算方法

如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、并联和星三角变换等方法求它的等效电阻
对含有受控源和电阻的两端电路，用电压、电流法求输入电阻：即在端口加电压源，求得电流，火灾端口加电流源，球的电压，得其比值

电压电流法并不是直接在端口加电压电流，而是一个假的

例题 2 中就用到了这个方法。只是为了借这个 U、I 的函数关系来求出输入电阻，并不需要具体的数值，知道比例就行

例题 1

例题 2

外加电源法：

外加电压源还是电流源都无所谓，因为外置的 U、I 没有先后关系
求输入电阻时，通常不用求出 U 和 I 的具体数值，只是求 U 和 I 的函数关系，直接求比值来得出输入电阻

例题 3

说明外加电压源还是电流源无所谓

这个题也可以用 VCR 去求，其中 $i_2=\frac{u_1}{10}$ 中的 10 就相当于电阻阻值，因此可以把电流源等效为 10 欧电阻

求不含有独立源的二段网络输入电阻

受控源在某种条件下也可以阻值为负数

例题 1

$(1). 先把电压源并的R_4和电流源串的R_1去掉，这样子电压电流源串后于R_2、R_3并\\ 对于i_s、i_2、i_3共同结点列KCL，得到i_s=i_2+i_3 \\ 流入R_2的电流i_2=\frac{R_3}{R_2+R_3}i_s \\ 电阻电流都知道，欧姆定律直接u_2=i_2R_2=\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}i_s$